第一百三十八章 克莱姆悖论（1/2）

虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的cramer悖论就是一个漂亮的例子。

在描述cramer悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。两条直线交于一点。反过来，过一点可以做两条不同的直线。事实上，过一点可以做无数条直线。确定一条直线需要两个点才够。一切都很正常。

现在，考虑平面上的两条三次曲线。由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到9组不同的解，因此两条三次曲线最多有9个交点。另外，三次曲线的一般形式为

x^3+a·x^2·y+b·x·y^2+c·y^3+d·x^2+e·x·y+f·y^2+g·x+h·y+i=0

这里面一共有9个未知系数。代入曲线上的9组不同的(x，y)，我们就能得出9个方程，解出这9个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。也就是说，平面上的9个点唯一地确定了一个三次曲线。这次貌似就出问题了：“两条三次曲线交于9个点”和“9个点唯一地确定一条三次曲线”怎么可能同时成立呢？既然这9个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。

cramer和euler是同一时代的两位大数学家。他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。上面这个问题就是1744年9月30日cramer在给euler的信中提出来的。在信中，cramer摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用9个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出9个交点。cramer向euler提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？

euler心中的疑问不比cramer的少。接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。1748年，euler发表了一篇题为surunecontradictionapparentedansladoctrinedeslignescourbes（关于曲线规律中的一个明显的矛盾）的文章，尝试着解决这一难题。正如大家所想，矛盾的源头就是，9个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。

euler试图向人们解释这样一件事情：曲线上的9个点虽然给出了9个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那9个未知数，因为有些方程是废的。在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。euler举了一个最简单的例子：方程组

3x2y=5