第二百九十八章 戴德金原理和定理（1/1）

亦称戴德金分割，是保证直线连续性的基础，其内容为：如果把直线的所有点分成两类，使得：1.每个点恰属于一个类，每个类都不空。2.第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面。

这个点决定直线的戴德金割切，此点称为戴德金点(或界点)，戴德金原理是戴德金于1872年提出来的，在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理，在希尔伯特公理组1，2，3的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价。

19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理：确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理和柯西收敛准则。

在对有理数集q利用戴德金分割构造实数之前，先给出一个引理：任意两个有理数之间，必然存在无数个有理数。引理非常容易证明，设a和b是两个有理数，那么它们的算术平均值c=(a+b)/2也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。

戴德金定理是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理。它断言，若a|a‘是实数系r(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数β，若β落在a内，则它为a中最大元，若β落在a‘内，则它是a‘中最小元。这个定理说明，r的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明，r的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性。