第三百一十六章 普拉托定理（1/2）

比利时物理学家普拉托（josephplateau，1801-1883）是一个醉心于视觉研究和吹泡泡的人。普拉托是最早认识到视觉暂留的人，其晚年失去了视觉，据说仍指导侄子吹泡泡继续他的研究。他1873年出版的长达450页的《仅置于分子力之下的液体之静力学》一书是关于泡泡研究的经典。作为一个科学家，面对泡沫这种人所共知的存在，普拉托看出来了许多很不直观的内容。普拉托其人其事，特别适于用来阐述科学家（依人之本性而非职业而言）同非科学家之间的区别。

关于泡泡，一个孤立的悬浮气泡，不考虑空气流动或者重力、温度场对液体分布的影响，是球形的。如果许多泡泡漂浮在空中，很可能会发生两个或多个气泡相遇而合并的情形。那么，两个气泡相遇其稳定构型是什么样的呢？三个呢？或者笼统地说，气泡团簇的构型会是什么样的呢？一般人很容易想到，若两个气泡是完全等同的，则它们相遇后的构型必定是对称的，因此它们的边界必然是一个平面，两个泡泡各自的形状关于这个平面成镜面对称。然而，我们知道，一个球形气泡其内外压差为△p=2γ/r。因为飘在空中的气泡，其外部都是一个大气压，显然气泡越小，其内部压力越大。若一大一小两个气泡相遇，小的气泡会挤压大的气泡，进入大气泡的内部（可能许多人此时的反应是：是吗？我没注意啊）以达到一个平衡的构型，为此气泡内的体积和压力都要调整。

普拉托经过多年研究，得到了关于气泡及其合并构型的许多重要结论，可总结为普拉托定理如下：

1.气泡由完整光滑的曲面（entiresos(1/2)=120°；

4.普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个点，四条边界线两两之间的交角都相同，等于正四面体的中心同各顶点连线所成的角，即夹角为arccos(1/3)=109.47°。

这四条普拉托定理，除了第一条以外，都不是那么直观，意思是不是寻常人通过观察能总结出来的。普拉托定理第1、2两条谈论的是气泡（团簇）的光滑部分，第3、4两条谈论的是结构中存在的奇性（singularity）问题。普拉托定理的第3、4两条的意思是泡泡有两种相遇的模式，或者说气泡团簇的奇性有两类：要么是三个表面沿一条曲线相遇；要么是六个表面相遇于一点。最重要的是，相遇处相邻面之间的夹角是相等的，分别为120°或者为109.47°。至于证明，我们会发现，这要求很高深的学问，包括微分几何和几何测度论等即便是对数学专业的人也不算容易的学问。不过，泡泡多有趣啊，为了理解泡泡，为了帮助孩子理解泡泡，学点微分几何不是搂草打兔子的事儿吗？