第五百四十章 几何山羊问题（1/2）

假如有一个圆形的围栏围着一片草地，将一只山羊拴在围栏内，请问栓羊的绳子需要多长，才能让山羊的食草范围为所围面积的一半？

这个看似简单的问题，人们对它的思考其实已经有270多年的历史了。然而即便经过了如此长的时间，数学家只能给出这个问题的近似解，而无法知道确切的解。

这个问题可被称为几何山羊问题，它分为两种：内部山羊问题和外部山羊问题。就在今年2月，来自德国的数学家ingoullisch通过推导出一个能表示绳长的表达式，找到了内部山羊问题的首个精确解。

虽然ullisch只讨论了内部山羊问题，但为了完整起见，让我们简要回顾一下外部问题和内部问题各自的发展历史。

外部山羊问题最早可追溯到1748年，它的最初版本出现在了伦敦的一个数学期刊上。那时，问题中的动物还不是山羊，而是一匹马：一匹马被拴在公园里的圆形围栏上，圆形围栏的周长为160码，与拴住了马的绳子长度相同。问，马可以走动的最大面积是多少？

这便是外部山羊问题所探讨的。其解答出现在1749年，相同的期刊刊登了一份来自mrheath的答案：对于一根长160码的绳子，马可以获得的移动范围是76257.86平方码。不过，这只是个近似值，而不是精确解。更精确的解由数学家michaelhoffman于1998年给出，他用光滑的凸曲线代替了圆形栏杆，给出了这一问题在一般情况下的解。

内部问题最初发表于1894年的《美国数学月刊》，这个问题的最初版本大致为：一个包含了一英亩土地的圆与另一个圆相交，另一个圆的中心在第一个圆的圆周上，两个圆的相交面积为半英亩。问：另一个圆的半径为多少？

内部问题往往比外部问题更具挑战性。在外部问题中，我们能从圆的半径和绳子的长度开始计算面积，因此可以借助积分来进行求解。而内部问题的求解需要逆转这一过程，它是从已知的面积来推断形成了这一面积的半径，处理起来要复杂得多。

在接下来的几十年里，《美国数学月刊》上刊登过内部问题的各种版本，围栏的形状有圆形、方形，也有椭圆形。1984年，数学家marshallfraser将问题从二维的平面推到了更广阔的领域。他计算出，对于一个n维的球体（n趋于无穷），需要多长绳子，才能让一只山羊在这个n维球体的一半空间中自由食草。

后来，数学家markmeyerson发现了fraser的论证中存在的逻辑错误，在纠正了这一错误后，meyerson得到了与fraser相同的结论：当n接近无穷时，绳与球体半径的比例接近√2。