第四百一十七章 阿诺德用拓扑学证明五次方程无根式解（1/1）

嚼口香糖，配橙汁或者其他饮料，加浓烈的白酒，感觉一下。

阿诺德给我印象最深的不是他的那些高深数学研究成果—我看不懂，自然也谈不上什么印象，而是他在一般浅层次数学问题上的别出心裁。请允许我举两个例子。其一是三角形垂心都交于一点的证明，这是个古老的平面几何问题。阿诺德竟然用雅可比恒等式来证明。雅可比恒等式可过渡到一个关于李括号的两层嵌套恒等式，那应该就是微分几何的第二比安奇恒等式，是广义相对论的一个要点。阿诺德用雅可比恒等式证明这个平面几何定理，给我们演示了高射炮打蚊子确实比较轻松这一伟大命题。其二是一元五次方程没有有限根式解的证明。一元五次方程没有有限根式解的问题，经拉格朗日的思考、鲁菲尼和阿贝尔等人的工作后由伽罗华用群论系统地证明了，并且由此产生了伽罗华理论。然而，1963年阿诺德竟然想到了用拓扑学的方法加以证明。证明思路基于如下观察和定理。观察是，方程系数绕一个环路回到原点可能会造成多项式方程根的置换。而定理是，两个环路对易式定义的环路会造成根空间里的环路。这样问题就来了，如果根的置换的对易式还是根的置换的话，那代数方程解的公式就必须是嵌套根式的样子。若根的置换的对易式之对易式一直是根的置换，那解的根式表达就必须是无限嵌套的样子。五次方程没有有限根式解由此得到了一个拓扑学角度的证明，思路清晰，比伽罗华理论好懂多了。此两例的详细内容，请参见拙著《惊艳一击》和《云端脚下》。