第六百六十三章 数学家找到单位猜想的一个反例（1/2）

2021年2月22日，数学家gilesgardam在网上进行了一场长达一个多小时的演讲，演讲的内容是与k理论有着深厚渊源的单位猜想。

这个猜想是一个基本却又令人困惑的代数问题，自被提出以来，已经困扰了数学家80多年之久。

1940年，英国数学家格雷厄姆·希格曼（grahamhigman）在他的博士论文中提出了单位猜想和零因数猜想；

1956年，20世纪最杰出的数学家之一欧文·卡普兰斯基（irvingkaplansky）在一份演讲报告中提到了零因数猜想；

到了1970年，卡普兰斯基在一篇题为《环理论的问题》的论文中，正式提出了单位猜想和零因数猜想。

现在，单位猜想与零因数猜想和幂等猜想被统称为卡普兰斯基猜想。

在卡普兰斯基的努力下，这些猜想受到了更多的关注。

但一直以来，这些猜想都仍处于未决的状态。

在近期的这场演讲中，gardam介绍了单位猜想的发展史，以及与零因数猜想和幂等猜想有关的一些信息。

在演讲的最后时分，他突然告诉大家：“现在是时候告诉大家一些新东西了——单位猜想实际上是错误的。”

消息一出，便引起了许多数学家的注意，因为卡普兰斯基猜想与邻近数学领域的一些其他问题有关

单位猜想涉及到群论中的大量知识。

群论研究的是那些定义了可逆结合的乘积运算的集合。

一个能够被称为群的集合，需要在其乘法运算的表现是正确的情况下，还满足两个额外的要求：一是集合中必须包含一个这样一个特殊元素（通常被标记为“1”），当它与其他元素相乘时，其他元素能维持不变；二是每个元素g都必须有一个乘法逆元（写作g），且当它与g相乘时等于1（gxg=1）。

单位猜想所探讨的问题是：在一个代数结构族中，有哪些元素具有乘法逆元？不过它所考虑的并不是普通数字的乘法逆元，而是群代数（一种将数字系统与一个群结合起来的结构）中的元素的乘法逆元。

在许多方面，群代数中的元素与多项式很类似，只不过它们之间存在一个关键区别：对于多项式来说，当两个多项式相乘，有些项可能会相互抵消，但指数最高的那项中总会留下，比如(x-1)(x+1)=x+x-x-1，互相抵消的是x和x，x仍然存在；但在群代数中，群的元素之间的关系可能导致一些其他的难以预测的抵消。

举个例子，假设有一个群是字母“a”的对称变换的集合，这个群只有两个元素：一是让每个点都维持在原有位置的转换（即“1”）；二是通过中央垂直轴进行的两次反射（记为“r”），反射两次会使每个点都复原到原来的位置，rxr=1。

在这种情况下，如果将r+2与r/3+2/3相乘，那么会发现几乎所有的项都抵消了，只留下了1。