第三百一十章 康托尔定理和悖论（1/2）

康托尔定理(cantor‘stheorem)：用p(x)记x的一切子集构成的集，用cardx表示x的势，则cardx<cardp(x)。康托尔定理指的是在zermelo-frnkel集合论中，声称任何集合a的幂集（所有子集的集合）的势严格大于a的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。

1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。

康托尔提出了集合论，而且提出一种幂基，是原集合中所有子集组成的集合。幂基的个数大于原集合元素的个数。这是因为幂集与原集无法形成一一对应的关系了。

如果自然数是原集，自然数的幂集数大于自然数，所以自然数的幂集数的无穷大，比自然数的无穷大要多。而康托尔有证明了自然数的幂级数与实数一样多，所以得知实数的无穷大数比自然数的无穷大要多。

康托尔证明直线、射线、线段上的点都一样多，同时等于实数的个数。而且直线上点的个数与面上点的个数与体中点的个数一样多。这也是康托尔悖论的核心内容。

后来康托尔又发现函数的个数的无穷大比实数的无穷大又大。

所以最后推出任意函数个数>实数数（线上点的个数）>自然数数。

其中有理数个数等于自然数个数，无理数个数等于实数个数！